圆锥面

圆锥面
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二 平面与圆柱面的截线

A EG 1
F1

O1

B


D
O2

F2


G2 F C

图3  5

探究 如图3  5, AB、CD是 两个等圆的直径AB // CD , AD、BC 与两圆相切作两圆 . 的公切线EF , 切点分别为F1、 F2 , 交BA 、DC 的延长线于E、 F , 交 AD于G1 , 交 BC 于G2 .设 EF与BC 、CD的交角分别为 、 .

打开几何画 板实验探究 .

1G2 F1  G2 F2与AD有什么关系? 2 AD的长与G1G2的长有什么关系 ? 3G2 F1与G2 E有什么关系?

由图3  5, 根据切线长定理有 G2 F1  G2 B, G2 F2  G2C,

所以G2 F1  G2 F2  G2 B  G2C  BC  AD. 又因为G1G2  G1 F2  F2G2 ,
由切线长定理知G1 F2  G1 D, F2G2  G2C ,

A EG 1
F1

O1

B


D
O2

F2


G2 F C

图3  5

所以G1G2  G1 D  G2C.
连接F1O1 , F2O2 , 容易证明EF1O1  FF2O2 .

所以EO1  FO2 . 又因为O1 A  O2C, 所以EA  FC.
于是可证得FCG2  EAG1 .所以G1 A  G2C .

所以G1G2  G1 D  G1 A  AD.
G2 B 在RtG2 EB中, cos   G2 E G2 F1 , 即G2 F1  G2 E cos G2 E
又因为  900   , 所以G2 F1  G2 E cos  G2 E sin  .
A EG 1
F1

O1

B


D
O2

F2


G2 F C

图3  5

由此得到结论: 1G2 F1  G2 F2  AD ;

2G1G2  AD ;

G2 F1 3  cos  sin  . G2 E

思 考 将图3  5 中的两 个圆拓广为球面将矩形 , A B CD 看成 是 圆柱面的 轴截面 , 将 EB、DF 拓广 为两个平面 、 , EF 拓 广为平面 , 得到图3  6. 显然, 平面与圆柱面的截 线是椭圆.根 据上面的结 论, 你能猜想这个椭圆的 两个焦点的位置吗 ?

A
G1 F1

O1 K1

B

D

P O2
K2

F2 G2 C

图3  6

我们猜想, 两个焦点可能在 两个球与斜截面的切点上, 即过球心O1、O2 分别作斜 截面的垂线, 其垂足 F1、F2 就可能是焦点为此, 我们需 . 要证明: 对于截口上任意一 点P, 有PF1  PF2  定值.
D A
G1 F1 O1 K1

B

P O2
K2

F2 G2 C

探究 如图3  6,当点P与G2 重合时, 可以得到什么结论 ?

图3  6

当点P在其他位置时 还有这个结论吗 , ?

由于图3  5 就是图3  6 经过母 O1 线 AD、BC 的轴截面由前面已 , A B K1 有的结论,当点P与G2重合时, 有 G1 F 1 G2 F1  G2 F2  AD. 当点P不在端点时 连接PF1、PF2, , F2 P G2 则PF1、PF2分别是两个球的切线 , O2 D C 切点为F1、F2 .过P作母线, 与两球 K2 面分别相交于 1、K 2 , 则PK1、PK 2 K 分别是两球面的切线切点为K1、 , 图3  6 K 2 .根据切线长定理的空间 推广, 知PF1  PK1 , PF2  PK 2 , 所以PF1  PF2  PK1  PK 2  AD. 由于AD为定值, 故点P的轨迹是椭圆 .

于是有 定理 1 圆柱形物体的斜截口是椭圆.

如图 3  7, F1、F2是 椭圆的焦点, B1 B2是 F1 F2的中垂线.我们 把A1 A2叫做椭圆的
A1 F1

B2

O
F2
B1

A2

长轴 , B1 B2叫做椭圆

图3  7

的 短轴, F1 F2叫做椭圆的

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