可测函数结构 Lusin定理

可测函数结构 Lusin定理
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第三章 可测函数
第三节 可测函数结构 Lusin定理

可测函数 可测集E上的连续函数定为可测函数  简单函数是可测函数  可测函数总可表示成一列简单函数的极限
问:可测函数是否是连续函数?

引理3.1

(i)设E1, E2是R上互不相交的两个点集,且距离 (E1, E2 )  0,
若f1是E1上的连续函数, f2是E2上的连续函数,

则函数f

(x)



  

f1 ( x), f2(x),

x x

 

E1 是集E E2



E1



E2上的连续函数.

(ii) 设{Ek }是直线R上一列互不相交的点集,
xk  Ek , xk1  Ek1,有xk  xk1,且 (Ek , Ek1)  0,

若fk是Ek上的连续函数,则函数f (x)  fk (x),x  Ek , k  1,2...


是集E  Ek上的连续函数.
k 1

鲁津定理 设f(x)为E上几乎处处有限的可测函数,则   0, 闭集F  E,
使得 m(E-F)<ε且f(x)在F上连续。
(去掉一小测度集,在留下的集合上成为连续函数) 即:可测函数“基本上”是连续函数

鲁津定理的证明1
证明:由于mE[|f|=+∞]=0 ,故不妨令f(x)为有限函数
(1) 当f(x)为简单函数时,

n

n

 令f

(x)



i 1

ci  Ei (x)(其中E




i 1

Ei

,

Ei可测且两两不交)





0, 及每个Ei,作Ei中的闭子集Fi,使m(Ei



Fi )



 n

(i  1,2, , n)

当x∈Ei时,f(x)=ci,所以f(x)在Fi上连续,

而Fi为两两不交闭集,故f(x)在

F

n




i 1

Fi

上连续

显然F为闭集,且有

n

n

  m(E  F ) 

m(Ei  Fi ) 

 n



i 1

i 1

鲁津定理的证明2
(2)当f(x)为有界可测函数时, 由定理1.5知,存在简单函数列{φn(x)} 在E上收敛f(x),

利用(1)的结果知

  0, 及每个n ( x),存在闭集Fn  E,

使m( E



Fn )




2n 1

且n ( x)在Fn上连续



令F0




n 1

Fn,则F0是闭集,

F0



E,n ( x)在F0上连续,

  且m(E

 F0 )




m(E
n 1



Fn )



 n 1


2n 1




2

另外,因n在F0上处处收敛于f ,由Egoroff定理,

存在闭集F



F0, 使m( F0



F)



,
2

且在F上n一致收敛于f,

由一致收敛的连续不变性得,f在F上连续。

由E - F  (E - F0)  (F0 - F)得
m(E- F)  m(E - F0)  m(F0 - F)  .

鲁津定理的证明3

(3)当f(x)为一般可测函数时,作变换

g(x)  f (x) 1 | f (x) |

( f (x)  g(x) ) 1 | g(x) |

则g(x)为有界可测函数,应用(2)即得我们的结果 (连续函数类关于四则运算封闭)

Lusin定理的逆定理

设f(x)是E上实函数,对δ>0,
存在闭集 E  E ,使 M (E  E )   且f(x)在 E 上连续,

则f(x)是E上的可测函数

证明:由条件知,

1 n

,存在闭集

En



E

使

m(E



En )



1 n



f(x)在En

连续,

当然 f(x)在 En上可测,



令E



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